Question

（1992•云南）已知三棱锥A-BCD的体积是V，棱BC的长是a，面ABC和面DBC的面积分别是S₁和S₂．设面ABC和面DBC所成的二面角是α，那么sinα=

3aV

2S1S2

．

Answer 1

分析：作出三棱锥A-BCD，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，从而得到二面角
A-BC-D的平面角，把三棱锥的高AH用体积和底面积表示，把斜高用△ABC的面积和边BC的长度表示，在直角三角形AHE中可求角α的正弦值．

解答：解：如图，过顶点A向底面BCD作AH⊥平面BCD，
在平面ABC内作AE⊥BC，连结HE，
根据三垂线定理可知，HE⊥BC，
所以∠AEH是二面角A-BC-D的平面角，则∠AEH=α，
由已知S_△BCD=S₂，三棱锥A-BCD的体积为V=

1

3

S2•AH，AH=

3V

S2

，
S△ABC=S1=

1

2

AE•BC，AE=2

S1

a

，
sinα=

AH

AE

=

3V S2

2S1 a

=

3aV

2S1S2

．
所以面ABC和面DBC所成二面角的正弦值为

3aV

2S1S2

．
故答案为

3aV

2S1S2

．

点评：本题考查了二面角的平面角的求法，考查了锥体的体积公式，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．