Question

20．已知函数$f（x）=x+\frac{4}{x}$
（1）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[2，+∞）上为增函数
（2）解不等式：f（x²-2x+4）≤f（7）

Answer 1

分析 （1）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据增函数的定义，只需说明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）根据函数的单调性得到x²-2x+4≤7，求出不等式的解集即可．

解答 （1）证明：任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{4}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{4{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-4）}{{{x}_{1}x}_{2}}$，
因为2≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[2，+∞）上为增函数．
（2）解：∵x²-2x+4≥2，
结合（1）得f（x）在[2，+∞）递增，
所以x²-2x+4≤7，
解得：-1≤x≤3，
故不等式的解集是[-1，3]．

点评 本题考查函数单调性的证明，属基础题，单调性的证明方法主要有：定义法；导数法，要熟练掌握．