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(附加题)已知f(x)是定义在R上单调函数,对任意实数m,n有:f(m+n)=f(m)•f(n);且x>0时,0<f(x)<1.
(1)证明:f(0)=1;
(2)证明:当x<0时,f(x)>1;
(3)当时,求使对任意实数x恒成立的参数a的取值范围.
【答案】分析:(1)令m>0,n=0,结合f(m+n)=f(m)•f(n),可证得f(0)=1;
(2)由f(m+n)=f(m)•f(n);且x>0时,0<f(x)<1,令m=x<0,n=-x>0,结合(1)中f(0)=1,可证得当x<0时,f(x)>1;
(3)根据函数的单调性及(2)中结论,可将抽象不等式具体化,进而根据二次不等式恒成立问题,求出参数a的取值范围.
解答:证明:(1)在f(m+n)=f(m)•f(n)中,
取m>0,n=0,
有f(m)=f(m)•f(0),
∵x>0时,0<f(x)<1,
∴f(0)=1                                               …(2分)
(2)设m=x<0,n=-x>0,
则0<f(-x)<1,
∴f(m+n)=f(0)=f(x)•f(-x)=1
∴f(x)=>1,
即x<0时,f(x)>1                                         …(5分)
解:(3)∵f(x)是定义在R上单调函数,
又f(0)=1>
∴f(x)是定义域R上的单调递减函数                                                 …(6分)
,且由已知f(2)>0,
∴f(2)=                                …(7分)
∴原不等式变为
即f(x2-2x+a-1)≤f(2)…(8分)
∴f(x)是定义域R上的单调递减函数可得,
x2-2x+a-1≥2对任意实数x恒成立
即x2-2x+a-3≥0对任意实数x恒成立
∴△=4-4(a-3)≤0,
∴a≥4                                                    …(10分)
点评:本题考查的知识点是函数恒成立问题,抽象函数及其应用,难度稍大,是中档题.
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(2)证明:当x<0时,f(x)>1;
(3)当f(4)=
1
16
时,求使f(x2-1)•f(a-2x)≤
1
4
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1x

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