Question

设a，b为常数，M{f(x)|f(x)=acosx+bsinx}；F：把平面上任意一点(a，b)映射为函数acodx+bsinx．

（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

（2）证明：当f₀(x)ÎM时，f₁(x)=f₀(x+t)ÎM，这里t为常数；

（3）对于属于M的一个固定值f₀(x)，得M₁={f₀(

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答案：
解析：

（1）证明：假设有两个不同的点(a，b)，(c，d)对应同一函数，即F(a，b)=acosx+bsinx与F(c，d)=ccosx+dsinx相同，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对于一切实数x成立．令x=0，得a=c；令，得b=d这与(a，b)，(c，d)是两个不同点矛盾，设不成立．故不存在两个不同点对应同函数． （2）证明：当f0(x)ÎM时，可得常数a0，b0，即f0(x)=a0cosx+b0sinx， f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sinx，因为a0，a0，t为常数，设a0cost+b0sint=m，b0cost-a0sint=n，则m，n是常数．所以f1(x)=mcosx+nsinxÎM （3）解：当f0(x)Î M时，由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx，其中m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，在映射F之下，f0(x+t)的原象是(m，n)，则M1的原象是{(m，n)|m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，tÎR}．消去t得，即在映射F之下，M1的原象{(m，n)|m2+n2=< span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>}是以原点为圆心，为半径的圆．

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：假设有两个不同的点(a，b)，(c，d)对应同一函数，即F(a，b)=acosx+bsinx与F(c，d)=ccosx+dsinx相同，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对于一切实数x成立．令x=0，得a=c；令，得b=d这与(a，b)，(c，d)是两个不同点矛盾，设不成立．故不存在两个不同点对应同函数． （2）证明：当f0(x)ÎM时，可得常数a0，b0，即f0(x)=a0cosx+b0sinx， f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sinx，因为a0，a0，t为常数，设a0cost+b0sint=m，b0cost-a0sint=n，则m，n是常数．所以f1(x)=mcosx+nsinxÎM （3）解：当f0(x)Î M时，由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx，其中m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，在映射F之下，f0(x+t)的原象是(m，n)，则M1的原象是{(m，n)|m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，tÎR}．消去t得，即在映射F之下，M1的原象{(m，n)|m2+n2=< span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>}是以原点为圆心，为半径的圆．