Question

（理科）如图，在棱长为1的正方体A'C中，过BD及B'C'的中点E作截面BEFD交C'D'于F．
（1）求截面BEFD与底面ABCD所成锐二面角的大小；
（2）求四棱锥A'-BEFD的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC、A'C'，由正方体的结构特征可得：平面ACC'A'⊥BEFD，并且其交线为OO₁，再过O₁作垂直于底面的垂线交AC于O₂，则∠O₁OO₂就是截面BEFD与底面ABCD所成角，再利用解三角形的有关知识求出答案即可．
（2）在△A′O₁O中，A′O=

6

2

，A′0₁=O₁O=

3 2

4

，所以由余弦定理可得：cos∠A′O₁O进而求出sin∠A′O₁O，所以点A'到平面BEFD的距离为：A′0₁•sin∠A′O₁O=1，再结合题意求出S_BEFD，进而求出几何体的体积．

解答：解：（1）在棱长为1的正方体A'C中，连接AC、A'C'，
因为BD⊥AA'、BD⊥AC，
所以平面ACC'A'⊥BEFD，并且其交线为OO₁，
再过O₁作垂直于底面的垂线交AC于O₂，则∠O₁OO₂就是截面BEFD与底面ABCD所成角，
由题意可得，O1O2=1，OO2=

2

4

，
所以在Rt△O₁O₂O中有tan∠O1OO2=

1

2 4

=2

2

，
故截面BEFD与底面ABCD所成角为arctan2

2

；
（2）在△A′O₁O中，由正方体的棱长为1可得：A′O=

6

2

，A′0₁=O₁O=

3 2

4

，
所以由余弦定理可得：cos∠A′O₁O=

1

3

，所以sin∠A′O₁O=

2 2

3

，
所以点A'到平面BEFD的距离为：A′0₁•sin∠A′O₁O=

2 2

3

×

3 2

4

=1，
所以点A'到平面BEFD的距离A′H是1，由上面O1O2=1，OO2=

2

4

，得OO1=

12+( 2 4 )2

=

3 2

4

，
所以SBEFD=

2 + 2 2

2

•

3 2

4

=

9

8

，
所以四棱锥A'-BEFD的体积V=

1

3

SBEFD•A′H=

3

8

．

点评：本题主要考查二面角与几何体的体积，而空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键；求几何体的体积的关键是求出点到底面的距离与底面的面积．