Question

6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=2，AA₁=4，则A₁B与平面A₁DCB₁所成角的正弦值是$\frac{4\sqrt{5}}{25}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁B与平面A₁DCB₁所成角的正弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=2，AA₁=4，
∴A₁（2，0，4），B（2，3，0），D（0，0，0），C（0，3，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，3，-4），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{DC}$=（0，3，0），
设平面A₁DCB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=3y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，-1），
设 A₁B与平面A₁DCB₁所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{4}{5\sqrt{5}}$|=$\frac{4\sqrt{5}}{25}$．
∴A₁B与平面A₁DCB₁所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{5}}{25}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}}{25}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．