Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，长轴长为4，M为右顶点，过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两点，（P、Q两点不重合）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线AB与x轴垂直时，求证：

FP

•

FQ

=0
（3）当直线AB的斜率为2时，（2）的结论是否还成立，若成立，请证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的基本量，得出a值，再结合离心率的公式得出c的值，最后得出b²=

a2-c2

=3，从而得出椭圆的标准方程；
（2）直线AB与x轴垂直，将x=1代入椭圆方程求出交点A、B的坐标，然后用向量共线的方法分别计算出P、Q两点的坐标，从而得出向量

FP

和

FQ

的坐标，最后用数量积的坐标计算公式可证出

FP

•

FQ

=0；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），利用点斜式得出直线AB的方程为y=2（x-1），将其与椭圆方程联解消去y得关于x的方程，然后利用根与系数的关系，得出x1+x2=

32

19

，x1x2=

4

19

，再利用直线的斜截式方程得y1y2=

-36

19

，最后利用三点共线得出y₃关于x₁，y₁的表达式和y₄关于x₂，y₂的表达式，将它们代入到向量

FP

和

FQ

的坐标表达式中，化简可得：

FP

•

FQ

=0，结论仍然成立．

解答：解：（1）由题意有2a=4，a=2，e=

c

a

=

1

2

，c=1，b²=3
∴椭圆的标准方程为 

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（2）直线AB与x轴垂直，则直线AB的方程是x=1
则A（1，

3

2

）B（1，-

3

2

），M（2，0）
AM、BM与x=1分别交于P、Q两点，A，M，P三点共线，

AM

，

MP

共线             …（4分）
可求P（4，-3），∴

FP

=(3，-3)，
同理：Q（4，3），

FQ

=(3，3)
∴

FP

•

FQ

=0命题成立．                     …（5分）
（3）若直线AB的斜率为2，∴直线AB的方程为y=2（x-1），
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）
联立

y=2(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消y得 19x²-32x+4=0
∴x1+x2=

32

19

，x1x2=

4

19

∴y1y2=4(x1-1)(x2-1)=

-36

19

…（7分）
又∵A、M、P三点共线，
∴y3=

2y1

x1-2

同理y4=

2y2

x2-2

∴

FP

=(3，

2y1

x1-2

)，

FQ

=(3，

2y2

x2-2

)
∴

FP

•

FQ

=9+

4y1y2

x1x2-2(x1+x2)+4

=0
综上所述：

FP

•

FQ

=0，结论仍然成立…（10分）

点评：本题以圆锥曲线为载体，考查了直线的方程、直线与椭圆的位置关系和平面向量的数量积等知识点，属于难题．解题时应该注意设而不求与转化化归等思想的运用．