Question

直线l与抛物线y²=4x交于两点A、B，O为原点，且

OA

•

OB

=-4
（1）求证：直线l恒过一定点；
（2）若4

6

≤|AB|≤4

30

，求直线l的斜率k的取值范围；
（3）设抛物线的焦点为F，∠AFB=θ，试问θ角能否等于120°？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）若直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+b，l与抛物线y²=4x的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根据

OA

•

OB

=-4求得y₁y₂，把直线与抛物线方程方程联立消去x根据韦达定理求得y₁y₂的表达式进而可求得b和k的关系，整理直线方程可知直线l过定点（2，0）；若直线l⊥x轴，易得x₁=x₂=2，则l也过定点（2，0）．
（2）由（1）可求得|AB|²的表达式，从而根据4

6

≤|AB|≤4

30

求得k的范围．
（3）假定θ=

2

3

p，则可得cosθ，根据抛物线定义得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．从而表示出|AF|²+|BF|²-|AB|²和|AF|•|BF|代入

|AF|2+|BF|2-|AB|2

2|AF|•|BF|

=-

1

2

整理得x₁+x₂+1=0与x₁＞0且x₂＞0相矛盾，经检验，当AB⊥x轴时，θ=2arctan2

2

＞

2

3

p．综合可知，θ≠

2

3

p．

解答：解：（1）1°若直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+b，
l与抛物线y²=4x的交点坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

OA

•

OB

=-4得x₁x₂+y₁y₂=-4，即

y 2 1 y 2 2

16

+y₁y₂=-4，
则y₁y₂=-8．
又由

y2=4x y=kx+b

得ky²-4y+4b=0（k≠0）．
则y₁y₂=

4b

k

=-8，即b=-2k，
则直线l的方程为y=k（x-2），则直线l过定点（2，0）．
2°若直线l⊥x轴，易得x₁=x₂=2，则l也过定点（2，0）．
综上，直线l恒过定点（2，0）．

（2）由（I）得|AB|²=（1+

1

k2

）（y₂-y₁）²=

1+k2

k2

（

16

k2

+32）
从而6≤

1+k2

k2

（

1

k2

+2）≤30．
解得k∈[-1，-

1

2

]∪[

1

2

，1]．

（3）假定θ=

2

3

p，则有cosθ=-

1

2

，
如图，即

|AF|2+|BF|2-|AB|2

2|AF|•|BF|

=-

1

2

（*）
由（1）得y₁y₂=-8，x₁x₂=

y 2 1 y 2 2

16

=4．
由定义得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1．
从而有|AF|²+|BF|²-|AB|²=（x₁+1）²+（x₂+1）²-（x₁-x₂）²-（y₁-y₂）²=-2（x₁+x₂）-6，
|AF|•|BF|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=x₁+x₂+5
将代入（*）得

-2(x1+x2)-6

2(x1+x2)+10

=-

1

2

，即x₁+x₂+1=0．
这与x₁＞0且x₂＞0相矛盾！
经检验，当AB⊥x轴时，θ=2arctan2

2

＞

2

3

p．
综上，θ≠

2

3

p．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的关系．直线与圆锥曲线的关系是高考的热点问题．试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力．