Question

（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，。以的中点为球心、为直径的球面交于点。

（1）求证：平面⊥平面；

（2）求直线与平面所成的角；

（3）求点到平面的距离。

Answer 1

（1）证明见解析。

（2）

（3）

解析:

方法（一）：

（1）证明：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ.

因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，

所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ。

（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，

由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN是PN在平面ABM上的射影，

所以  就是与平面所成的角，

且

所求角为

（3）因为O是BD的中点，则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离。

因为在Rt△PAD中，，，所以为中点，，则O点到平面ABM的距离等于。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，

设平面的一个法向量，由可得：，令，则，即.设所求角为，则，

所求角的大小为。

（3）设所求距离为，由，得：。