Question

8．已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1），若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质可得a≥2．故只要f（1）-f（a）≤4 即可，即 （a-1）²≤4，求得a的范围．

解答 解：由于函数f（x）=x²-2ax+5的图象的对称轴为x=a，函数f（x）=x²-2ax+5在区间（-∞，2]上单调递减，∴a≥2．
故在区间∈[1，a+1]上，1离对称轴x=a最远，故要使对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
只要f（1）-f（a）≤4 即可，即 （a-1）²≤4，求得-1≤a≤3．
再结合 a≥2，可得2≤a≤3，
故a的取值范围为：[2，3]．

点评 本题主要二次函数的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．