Question

（2007•宝山区一模）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P，且倾斜角为120°的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线l上的射影是A₁，B₁．
①求梯形AA₁B₁B的面积；
②若点C是线段A₁B₁上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义，可知动圆圆心的轨迹为抛物线，再利用抛物线的标准方程求出动圆圆心的轨迹M的方程．
（2）①根据直线的倾斜角为120°，可得到直线的斜率，再根据直线过定点P（1，0），就可用直线方程的点斜式写出直线方程，再与（1）中所求抛物线方程联立，解出A，B点坐标，求出，|AA₁|+|BB₁|，再利用梯形的面积公式，求出梯形AA₁B₁B的面积．
②因为△ABC为直角三角形，没有给出那一个角是直角，所以分三种情况讨论，（i）∠A=90°，（ii）∠ABC=90°，
（iii）∠C=90°，分别求出P点坐标．

解答：解：（1）曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为y²=4x．
（2）①由题意得，直线AB的方程为y=-

3

（x-1），
由

y=-3(x-1) y2=4x

 消y得
3x²-10x+3=0，解得x₁=

1

3

，x₂=3   
于是，A点和B点的坐标分别为A（

1

3

，

2 3

3

），B（3，-2

3

），
所以|A₁B₁|=

2 3

3

+2

3

=

8 3

3

，|AA₁|+|BB₁|=x₁+x₂+2=

16

3

  
S=（|AA₁|+|BB₁|）|A₁B₁|=

64 3

9

   
②设C（-1，y）使△ABC成直角三角形，
|AC|²=（-1-

1

3

）²+（y-

2 3

3

）²=

28

9

-

4 3y

3

+y²，
|BC|²=（3+1）²+（y+2

3

）²=28+4

3

y+y²，
|AB|²=(

16

3

)2=

256

9

．
（i） 当∠A=90°时，得直线AC的方程为y-

2 3

3

=

3

3

（x-

1

3

），
求得C点的坐标是（-1，-

2 3

9

）．
（ii） 因为∠ABB₁=60°，所以，∠ABC不可能为直角．
（iii）当∠C=90°时，由几何性质得C点是A₁B₁的中点，即C点的坐标是（-1，

2 3

3

）．
故当△ABC为直角三角形时，点C的坐标是（-1，-

2 3

3

）或（-1，

2 3

9

）．

点评：本题主要考查了定义法求点的轨迹方程，以及抛物线中，由焦点弦，准线，焦点弦的两个端点到准线的垂线段组成的梯形的性质．