Question

（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：

（Ⅰ）点到平面的距离；

（Ⅱ）二面角的大小．     

Answer 1

解析：解法一：

（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。

因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中

(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.

由于E为BS边中点，故,在中，

,因，又

故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得

因此而在中，

在中，可得，故所求二面角的大小为

解法二：

（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面

即点A在xoz平面上，因此

又

 

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面

yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.

(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.

ΔBCS为直角三角形 ,

知

设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .

在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .

由故

    ①　

又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②

联立①、②，解得G＝　,

故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为  .

因为=，,所以

 

故所求的二面角的大小为 .