Question

（2013•泗阳县模拟）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．（利润=收入-生产成本-促销费用）
（1）求出x与t所满足的关系式；
（2）请把该工厂2010年的年利润y万元表示成促销费t万元的函数；
（3）试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？

Answer 1

分析：（1）根据题意，3-x与t+1成反比例，列出关系式，然后根据当t=0时，x=1，求出k的值
（2）通过x表示出年利润y，并化简，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（3）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．

解答：解  （1）设比例系数为k（k≠0）．由题知，有3-x=

k

t+1

．…（2分）
又t=0时，x=1．∴3-1=

k

0+1

，k=2．…（4分）∴x与t的关系是x=3-

2

t+1

(t≥0)．…（5分）
（2）依据题意，可知工厂生产x万件纪念品的生产成本为（3+32x）万元，促销费用为t万元，则每件纪念品的定价为：（

3+32x

x

•150%+

t

2x

）元/件．…（8分）
于是，y=x•(

3+32x

x

•150%+

t

2x

)-(3+32x)-t，进一步化简，得y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)．…（11分）
因此，工厂2010年的年利润y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)万元．
（3）由（2）知，y=

99

2

-

32

t+1

-

t

2

(t≥0)

=50-( 32 t+1 + t+1 2 ) ≤50-2 32 t+1 • t+1 2 =42(当 t+1 2 = 32 t+1 ，即t=7时，等号成立)

…（15分）
所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…（16分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，属于中档题．