【题目】已知椭圆C1: + =1,圆C2:x2+y2=t经过椭圆C1的焦点.
(1)设P为椭圆上任意一点,过点P作圆C2的切线,切点为Q,求△POQ面积的取值范围,其中O为坐标原点;
(2)过点M(﹣1,0)的直线l与曲线C1 , C2自上而下依次交于点A,B,C,D,若|AB|=|CD|,求直线l的方程.
【答案】
(1)
解:椭圆C1: + =1的焦点坐标为(± ,0),则t=2,
设P(x,y),则丨PO丨= = = ,
由x2∈[0,6],则丨PO丨∈[2, ],
则△POQ面积S,S= × × ∈[1, ],
△POQ面积的取值范围[1, ]
(2)
解:设直线l的方程为:x=my﹣1;
联立 ,消去x,整理得(2m2+3)y2﹣4my﹣10=0,
设A(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=
联立 ,消去x,得(m2+1)y2﹣2my﹣1=0,
设B(x3,y3),D(x3,y4),则y3+y4=
又丨AB丨=丨CD丨,则 = ,即y3﹣y1=y2﹣y4,
从而y1+y2=y3+y4,即 = ,解得m=0,
∴直线l的方程为x=﹣1.
【解析】(1)由题意的焦点坐标,求得t的值,则丨PO丨∈[2, ],利用三角形的面积公式,即可求得△POQ面积的取值范围;(2)将直线l的方程,代入椭圆方程及圆的方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,即可求得m的值,求得直线直线l的方程.
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【题目】设、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;
(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.
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【题目】已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y﹣4)2=1的圆心为点M
(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;
(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.
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【题目】设数列{an}的各项均为正数.若对任意的n∈N* , 存在k∈N* , 使得an+k2=anan+2k成立,则称数列{an}为“Jk型”数列.
(1)若数列{an}是“J2型”数列,且a2=8,a8=1,求a2n;
(2)若数列{an}既是“J3型”数列,又是“J4型”数列,证明:数列{an}是等比数列.
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【题目】某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品,该工艺品由一个实心圆柱体和一个实心半球体组成,要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为,工艺品的体积为。现设圆柱的底面半径为,工艺品的表面积为,半球与圆柱的接触面积忽略不计。
(1)试写出关于的函数关系式并求出的取值范围;
(2)怎样设计才能使工艺品的表面积最小?并求出最小值。
参考公式:球体积公式:;球表面积公式:,其中为球半径.
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【题目】已知定义在区间[﹣3,3]上的单调函数f(x)满足:对任意的x∈[﹣3,3],都有f(f(x)﹣2x)=6,则在[﹣3,3]上随机取一个实数x,使得f(x)的值不小于4的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,已知四边形是边长为1的正方形,点、、、顺次在边、、、上,且.过点、、、分别作射线、、、,且,这里为定角,且,由此得到四边形.
(1)问四边形是怎样的四边形?证明你的结论.
(2)设,试将表示成的函数.
(3)是否存在,使为与无关的定值?若存在,求出相应的的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知D= ,给出下列四个命题: P1:(x,y)∈D,x+y+1≥0;
P2:(x,y)∈D,2x﹣y+2≤0;
P3:(x,y)∈D, ≤﹣4;
P4:(x,y)∈D,x2+y2≤2.
其中真命题的是( )
A.P1 , P2
B.P2 , P3
C.P2 , P4
D.P3 , P4
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