Question

如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．

[分析]　建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．

Answer 1

[解析]　以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

因为AD＝5 m，AB＝3 m，

所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．

设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，

所以k_AC·k_DM＝－1，

即·＝－1.

所以x＝3.2，即BM＝3.2，

即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．

故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．

由两点间距离公式得DM＝＝.

[点评]　建立直角坐标系的原则：

(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐标系；

(2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点，两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；

(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直角坐标系；

(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为x轴建立直角坐标系；

(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线为x轴建立直角坐标系．