Question

若函数y=f（x）（x∈D）同时满足以下条件：
①它在定义域D上是单调函数；②存在区间[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我们将这样的函数称作“A类函数”，
（1）函数y=2x-log₂x是不是“A类函数”？如果是，试找出[a，b]；如果不是，试说明理由；
（2）求使得函数f（x）=

1

2

x-

k

x

+1，x∈（0，+∞）是“A类函数”的常数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，验证函数不是单调函数，故不是“A类函数”；
（2）先确定k＞0时，函数单调增，再利用函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，[a，b]∈（0，+∞），可得a，b是方程

1

2

x-

k

x

+1=x的两个不等的正根，从而可求常数k的取值范围．

解答：解：（1）求导函数，可得y′=2-

1

xln2

，令y′=0，则x=

1

2ln2

，
∴函数y=2x-log₂x在（0，

1

2ln2

）上y′＜0，函数单调减，在（

1

2ln2

，+∞）上y′＞0，函数单调增
∴函数y=2x-log₂x不是“A类函数”；
（2）求导函数，可得f′（x）=

1

2

+

k

x2

，则k＞0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，[a，b]∈（0，+∞）
∴a，b是方程

1

2

x-

k

x

+1=x的两个不等的正根
∴a，b是方程x²-2x+2k=0的两个不等的正根
∴

△=4-8k＞0 k＞0

∴0＜k＜

1

2

综上，0＜k＜

1

2

时，函数f（x）=

1

2

x-

k

x

+1，x∈（0，+∞）是“A类函数”．

点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，解题的关键是理解新定义，并利用新定义求参数的值．