分析 (1)运用韦达定理可得α+β+γ=-a=1,αβ+βγ+γα=b=-1,再由三数的和的完全平方公式,即可得到所求值;
(2)由题意可得f(x)关于(m,n)中心对称,求出导数,求得极值点的和,可得m=-$\frac{a}{3}$,求出f(m)的解析式,再令g(t)=(3t-2)(3t+1)(1-6t),通过导数求得极值点,可得最值.
解答 解:(1)由x3+ax2+bx+c=(x-α)(x-β)(x-γ),
可得α+β+γ=-a=1,αβ+βγ+γα=b=-1,
可得α2+β2+γ2=(α+β+γ)2-2(αβ+βγ+γα)=1+2=3;
(2)由题意知y=f(x)关于(m,n)中心对称,
由f(x)的导数f′(x)=3x2+2ax+b,
可得两极值点x1,x2的和为-$\frac{2a}{3}$,
所以m取两个极值点的平均值,即m=-$\frac{a}{3}$,
则有f(m)=f(-$\frac{a}{3}$)=(-$\frac{a}{3}$-α)(-$\frac{a}{3}$-β)(-$\frac{a}{3}$-γ)=$\frac{1}{27}$(β+γ-2α)(α+γ-2β)(α+β-2γ)
=$\frac{1}{2{7}^{2}}$[3(γ-β)-2][3(γ-β)+1][1-6(γ-β)]=$\frac{1}{2{7}^{2}}$(3t-2)(3t+1)(1-6t)
其中t=γ-β>$\frac{1}{2}$(α-β)=$\frac{1}{6}$,令g(t)=(3t-2)(3t+1)(1-6t),
则g′(t)=-9(18t2-6t-1),所以g(t)在($\frac{1}{6}$,$\frac{1+\sqrt{3}}{6}$)上递增,
在($\frac{1+\sqrt{3}}{6}$,+∞)上递减.
由此可求出f(m)max=$\frac{1}{2{7}^{2}}$g($\frac{1+\sqrt{3}}{6}$)=$\frac{\sqrt{3}}{486}$,f(m)无最小值.
点评 本题考查三次函数的韦达定理的运用,考查函数的最值的求法,注意运用函数的性质,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | n(n+1) | B. | n(n-1) | C. | $\frac{n(n+1)}{2}$ | D. | $\frac{n(n-1)}{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a3与a4 | B. | a4与a3 | C. | a1与a3 | D. | a1与a4 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 36π | B. | 9π | C. | 20π | D. | 16π |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com