Question

我们把由半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（x≥0）与半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1（x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A₁A₂的中点．
（1）若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设P是“果圆”的半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1（x≤0）上任意一点．求证：当|PM|取得最小值时，P在点B₁，B₂或A₁处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标．

Answer 1

分析：（1）根据焦点F₀，F₁，F₂的坐标，分别求得|F₀F₂|和|F₁F₂|进而求得c²，则a可求得，进而求得果圆的方程．
（2）设P（x，y），则|PM|可求，根据1-

b2

c2

＜0求得∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c处取到．即|PM|取得最小值时，P在点B₁，B₂或A₁处．原式得证．
（3）根据题意可知研究P位于“果圆”的半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (x≥0)上的情形即可．先表示出|PM|进而根据x的范围确定a和c不等式关系，看a≤2c时，|PM|²的最小值在x=

a2(a-c)

2c2

时取到，根据|PM|²在x＜a时是递减的进而可知|PM|²的最小值在x=a时取到，进而分别求得P的坐标．

解答：解：（1）∵F0(c，0)，F1(0，-

b2-c2

)，F2(0，

b2-c2

)，
∴|F0F2|=

(b2-c2)+c2

=b=1，| F1F2|=2

b2-c2

=1，
于是c2=

3

4

，a2=b2+c2=

7

4

，
所求“果圆”方程为

4

7

x2+y2=1(x≥0)，y2+

4

3

x2=1(x≤0)．
（2）设P（x，y），则|PM|2=(x-

a-c

2

)2+y2=(1-

b2

c2

)x2-(a-c)x+

(a-c)2

4

+b2，-c≤x≤0，
∵1-

b2

c2

＜0，
∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c处取到．
即当|PM|取得最小值时，P在点B₁，B₂或A₁处．
（3）∵|A₁M|=|MA₂|，且B₁和B₂同时位于“果圆”的半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1( x≥0 )和半椭圆

y2

b2

+

x2

c2

=1( x≤0 )上，
所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (x≥0)上的情形即可．|  PM|2=(x-

a-c

2

)2+y2=

c2

a2

[ x-

a2(a-c)

2c2

]2+b2+

(a-c)2

4

-

a2(a-c)2

4c2

．
当x=

a2(a-c)

2c2

≤a，即a≤2c时，|PM|²的最小值在x=

a2(a-c)

2c2

时取到，
此时P的横坐标是

a2(a-c)

2c2

．
当x=

a2(a-c)

2c2

＞a，即a＞2c时，
由于|PM|²在x＜a时是递减的，|PM|²的最小值在x=a时取到，此时P的横坐标是a．
综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是

a2(a-c)

2c2

；
若a＞2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或-c．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．