Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

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AD．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有哪些平面是互相垂直的？

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）只要证明CD垂直与平面PAD的两条相交直线；
（2）结合已知和（1）得到PA⊥面PDC，再利用面面垂直的判定定理证明；
（3）结合（1，2）利用线面垂直和面面垂直的判定得到其余的垂直平面．

解答： （1）证明：∵底面ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA=PD
过P作PE⊥AD，垂足为E，
∴PE⊥底面ABCD，
∴PE⊥CD，
∵AD∩PE=E，
∴CD⊥平面PAD；
（2）证明：由（1）可知CD⊥平面PAD．
∴CD⊥PA．
又∵PA=PD=

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AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD=90°，
即PA⊥PD
CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC
∴PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
∴面PAB⊥面PDC．
（3）除了已知和（2）中的两个平面互相垂直以外，在不添加其它点和线的情况下，图中还有平面PCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD．

点评：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及面面垂直的判定，关键是将线面关系和面面关系转化为线线关系解答．