Question

设函数y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N^*）的图象在x轴上截得的抛物线长为d_n，记数列{d_n}的前n项和为S_n，若存在正整数n，使得log₂（S_n+1） m-n2≥18成立，则实数m的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：得出d_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，求出S_n，化简得出n（m-n²）≥18，构造函数g（n）=n²+

18

n

，运用导数判断即可得出m的最小值．

解答： 解：∵函数y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N^*）的图象在x轴上截得的抛物线长为d_n=x₂-x₁，
得出d_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∵x²-3×2^n-1x+2×4^n-1=0（n∈N^*），x₁=2^n-1，x₂=2ⁿ，∴

dn+1

dn

=

2n

2n-1

=2，
∴{d_n}为等比数列，d₁=1，S_n=2ⁿ-1，
∴S_n+1=2ⁿ，
∵log₂（S_n+1） m-n2≥18
∴n（m-n²）≥18存在正整数n，不等式成立．m≥n²+

18

n

g′（n）=2n-

18

n2

=0，n=

3	9

g′（n）＞0，n＞

3	9

，
g′（n）＜0，n＜

3	9

，
g（n）=n²+

18

n

在（0，

3	9

）递减，在（

3	9

，+∞）
当n=1时，m≥19，
当n=2时，m≥13，
当n=3时，m≥15，
当n=4时，m≥16+

9

2

可知：实数m的最小值为13．

点评：本题中考察了数列，函数，不等式，导数的运用相结合的题目，难度较大．