Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD与平面PAD所成的角为45°，求点D到平面PCE的距离．

Answer 1

分析：（I）由已知证PA⊥CE，CE⊥AD，由直线与平面垂直的判定定理可得；
（II）由（I）可知CE⊥AD，计算S_△CED，S_△CEP，利用等体积，即可求得点D到平面PCE的距离．

解答：（I）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE，
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD
又PA∩AD=A，所以CE⊥平面PAD
（II）连接PE，由（I）可知CE⊥AD，
∵PA⊥CE，AD∩PA=A，∴CE⊥平面PAD
∵PE?平面PAD，∴CE⊥PE
在Rt△ECD中，DE=CDcos45°=1，CE=CDsin45°=1，∴S_△CED=

1

2

CE•DE=

1

2

在Rt△ECP中，PE=

5

，CE=1，∴S_△CEP=

1

2

CE•PE=

5

2

设点D到平面PCE的距离为h，利用等体积可得：

1

3

×

1

2

×1=

1

3

×

5

2

h
∴h=

5

5

．

点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识，考查数形结合思想，化归与转化的思想．