Question

8．已知函数f（x）=log_ax+a-e（a＞0且a≠1，e=2.71828…）过点（1，0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f²（x）-2f（e²x）+3，若g（x）-k≤0在x∈[e^-1，e²]上恒成立，求k的取值范围；
（3）设函数h（x）=a^f（x+1）+mx²-3m+1在区间（-$\frac{3}{2}$，2]上有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点（1，0）代入函数解析式，求出a的值即得f（x）的解析式；
（2）化简函数g（x），把g（x）-k≤0在x∈[e^-1，e²]上恒成立转化为求g（x）在x∈[e^-1，e²]上的最大值问题，从而求出k的取值范围；
（3）化简函数h（x），讨论m的取值，求出h（x）在区间（-$\frac{3}{2}$，2]上有零点时m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_ax+a-e过点（1，0），
∴f（1）=a-e=0，
解得a=e，
∴函数f（x）=lnx；
（2）∵g（x）-k≤0在x∈[e^-1，e²]上恒成立，
即k≥g（x）_max；
函数g（x）=f²（x）-2f（e²x）+3
=ln²x-2ln（e²x）+3
=ln²x-2lnx-1
=（lnx-1）²-2，
令t=lnx，∵x∈[e^-1，e²]，
∴t∈[-1，2]，∴y=（t-1）²-2，
当t=-1时，y取得最大值2，
即g（x）_max=2，
∴k的取值范围是k≥2；
（3）【解法一】∵函数h（x）=a^f（x+1）+mx²-3m+1
=e^ln（x+1）+mx²-3m+1
=（x+1）+mx²-3m+1，其中x＞-1；
由h（x）=0，得m=-$\frac{x+2}{{x}^{2}-3}$（x≠±$\sqrt{3}$且-$\frac{3}{2}$＜x≤2）；
∴m=-$\frac{x+2}{{（x+2）}^{2}-4（x+2）+1}$，
令u=x+2（$\frac{1}{2}$＜u≤4且u≠2±$\sqrt{3}$），
则m=-$\frac{u}{{u}^{2}-4u+1}$=-$\frac{1}{u+\frac{1}{u}-4}$；
令p（u）=u+$\frac{1}{u}$，当$\frac{1}{2}$＜u＜1时，p（u）是减函数，
当1＜u≤4时，p（u）是增函数；
且p（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，p（1）=2，p（4）=$\frac{17}{4}$，
∴2≤p（u）≤$\frac{17}{4}$且p（u）≠4，
∴0＜4-p（u）≤2或-$\frac{1}{4}$≤4-p（u）＜0，
∴m的取值范围是m≥$\frac{1}{2}$或m≤-4．
【解法二】；函数h（x）=a^f（x+1）+mx²-3m+1
=e^ln（x+1）+mx²-3m+1
=（x+1）+mx²-3m+1，其中x∈（-$\frac{3}{2}$，2]；
当m=0时，h（x）=x+2的零点是-2，不满足题意；
当m≠0时，若h（x）=x+1+mx²-3m+1在（-$\frac{3}{2}$，2]上有二重零点，
则△=1-4m（2-3m）=0，解得m=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{6}$，
此时x₁=x₂=-$\frac{1}{2m}$∈（-$\frac{3}{2}$，2]，∴m=$\frac{1}{2}$；
若h（x）=x+1+mx²-3m+1在（-$\frac{3}{2}$，2]上只有一个零点且不是二重零点，
则h（-$\frac{3}{2}$）•h（1）≤0，解得m≤-4或m≥$\frac{2}{3}$，
验证m=-4和m=$\frac{2}{3}$时，h（x）在（-$\frac{3}{2}$，2]上都有零点，∴m≤-4或m≥$\frac{2}{3}$；
若h（x）=x+1+mx²-3m+1在（-$\frac{3}{2}$，2]上有二个相异零点时，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△＞0}\\{-\frac{3}{2}＜-\frac{1}{2m}＜2}\\{h（2）≥0}\\{h（-\frac{3}{2}）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△＞0}\\{-\frac{3}{2}＜-\frac{1}{2m}＜2}\\{h（2）≤0}\\{h（-\frac{3}{2}）＜0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{2}{3}$，
综上，m的取值范围是m≤-4或m≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了复合函数的性质与应用问题，考查了不等式的解法与应用问题，零点的判断问题，同时也考查了分类讨论的数学思想，是综合性题目．