Question

已知点B（0，1），A，C为椭圆C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）上的两点，△ABC是以B为直角顶点的直角三角形．
（1）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？
（2）当a=2时，求线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．

Answer 1

（1）不妨设l_AB：y=kx+1（k＞0），l_BC：y=-

1

k

x+1．
由

y=kx+1 x2 a2 +y2=1

，得（1+a²k²）x²+2ka²x=0，…①
∴|AB|=

1+k2

|xA-xB|=

1+k2

•

2ka2

1+a2k2

．
同理可得：|BC|=

1+ 1 k2

•

2a2 k

1+ a2 k2

=

1+k2

•

2a2

k2+a2

．
由|AB|=|BC|得，k³-a²k²+a²k-1=0，
即（k-1）[k²+（1-a²）k+1]=0，解得k=1或k²+（1-a²）k+1=0．
对于k²+（1-a²）k+1=0，
由（1-a²）²-4=0，得a=

3

，此时方程的根k=1；
当1＜a＜

3

时，方程k²+（1-a²）k+1=0无实根；
当a＞

3

时，方程k²+（1-a²）k+1=0有两个不等实数根．
∴当a＞

3

时，这样的三角形有3个；当1＜a≤

3

时这样的三角形有1个；
（2）由a=2，可得椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
直线AC与x轴垂直时不符合题意．
①直线AC的斜率为0时，线段AC的垂直平分线为y轴，此时线段AC的垂直平分线在x轴上的截距为0．
②设直线AC的方程为my=x+t．（m≠0），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立

my=x+t x2+4y2=4

，化为（4+m²）y²-2mty+t²-4=0．
∵直线AC与椭圆有两个交点，∴△=4m²t²-4（4+m²）（t²-4）＞0，化为4+m²＞t²．（*）
∴y1+y2=

2mt

4+m2

，y1y2=

t2-4

4+m2

．（**）
设线段AC的中点M（x₀，y₀），则y0=

y1+y2

2

=

mt

4+m2

，x₀=my₀-t=

-4t

4+m2

．
∴M(

-4t

4+m2

，

mt

4+m2

)．
∵AB⊥BC，
∴

BA

•

BC

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=（my₁-t）（my₂-t）+（y₁-1）（y₂-1）=（m²+1）y₁y₂-（mt+1）（y₁+y₂）+t²+1=0．
把（**）代入上式可得：

(m2+1)(t2-4)

4+m2

-

2mt(mt+1)

4+m2

+t²+1=0，
化为 5t²-2mt-3m²=0，即（5t+3m）（t-m）=0．
解得t=m或t=-

3m

5

．
当t=m时，直线AC化为m（y-1）=x过点（0，1），舍去．
当t=-

3m

5

时，满足（*）．
又线段AC的垂直平分线为：y-

mt

4+m2

=-m(x+

4t

4+m2

)．
令y=0，得x=

-3t

4+m2

，
把t=-

3m

5

代入上式可得x=

9m

5(4+m2)

=

9 5

4 m +m

，
当m＞0时，0＜x≤

9

20

．
当m＜0时，-

9

20

≤m＜0．
综上可知：线段AC的中垂线l在x轴上截距的取值范围是[-

9

20

，

9

20

]．