Question

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2时求f（x）的极值；
（2）若g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将a=-2代入，我们可以求出函数f（x）的解析式，进而求出f′（x）的解析式，令导函数等于0，求出对应的x值，并分析不同区间上函数f（x）的单调性，即可得到f（x）的极值；
（2）由已知中函数f（x）=x²+alnx．我们易根据g（x）=f（x）+2x得到函数g（x）的表达式，根据g（x）=f（x）+2x在[1，+∞）上单调递增，我们易得g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，进而将问题转化为一个函数恒成立问题．

解答：解：（1）当a=-2时
f（x）=x²-2lnx
f′（x）=2x-

2

x

=

2x2-2

x

令f′（x）=0，则x=1
又∵当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
∴当x=1时，f（x）_极小=f（1）=1
（2）∵f（x）=x²+alnx
∴g（x）=x²+2x+alnx
∴g′（x）=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

∵g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立
即u=2x²+2x+a≥0在[1，+∞）上恒成立
∵u=2x²+2x+a在[1，+∞）上单调递增
∴仅须u的最小值4+a≥0，即a≥-4即可
故实数a的取值范围为[-4，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的极值，其中根据函数的解析式，求出导函数的解析式，是解答此类问题的关键．