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如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,DE=4,M为CE的中点.
(I)求证:BM∥平面ADEF:
(Ⅱ)求证:BC⊥平面BDE;
(Ⅲ)求三棱锥C-MBD的体积.

(I)证明:取DE中点N,连接MN,AN
在△EDC中,M、N分别为EC,ED的中点,所以MN∥CD,且MN=CD.
由已知AB∥CD,AB=CD,所以MN∥AB,且MN=AB.
所以四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN
又因为AN?平面ADEF,且BM?平面ADEF,
所以BM∥平面ADEF;

(II)证明:在矩形ADEF中,ED⊥AD,
又因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=
在△BCD中,BD=BC=,CD=2,
因为BD2+BC2=CD2,所以BC⊥BD.
因为BD∩DE=D,所以BC⊥平面BDE,
(Ⅲ)解:取CD中点G,连接MG,则MG∥DE且MG=
∵ED⊥平面ABCD
∴MG⊥平面ABCD
∵BC⊥DB且BC=BD=
∴VC-MBD=VM-BCD==
分析:(I)取DE中点N,连接MN,AN,由三角形中位线定理,结合已知中AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,易得四边形ABMN为平行四边形,所以BM∥AN,再由线面平面的判定定理,可得BM∥平面ADEF;
(II)由已知中矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,易得ED⊥平面ABCD,进而ED⊥BC,由勾股定理,我们易判断出△BCD中,BC⊥BD,由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE;
(Ⅲ)取CD中点G,连接MG,利用VC-MBD=VM-BCD,即可求得结论.
点评:本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,三棱锥体积的计算,熟练掌握空间直线与平面不同位置关系(平行和垂直)的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,矩形 ADEF与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.    
(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面BDE.

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如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点. 
(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
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如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,DE=2,M为CE的中点.
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(2012•德州一模)如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=1,CD=2,DE=3,M为CE的中点.
(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值;
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精英家教网如图,矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=
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CD=2
,DE=3,M为CE的中点.
(Ⅰ)求证:BM∥平面ADEF;
(Ⅱ)求直线DB与平面BEC所成角的正弦值.

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