Question

若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=

an

3an+1

．
（1）设b_n=

1

an

，问：{b_n}是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项b_n；
（2）设c_n=a_na_n+1，求{c_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a_n+1=

an

3an+1

，b_n=

1

an

，代入可得b_n+1-b_n=

1

an+1

-

1

an

=3，即可得出结论；
（2）确定{c_n}的通项，利用裂项法，求出{c_n}的前n项和．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

an

3an+1

，b_n=

1

an

，
∴b_n+1-b_n=

1

an+1

-

1

an

=3
∴{b_n}是公差为3的等差数列，
又b₁=

1

a1

=

1

2

，
∴b_n=3n-

5

2

（2）∵b_n=

1

an

，∴a_n=

2

6n-5

由a_n+1=

an

3an+1

，得：3a_n+1a_n+a_n+1=a_n
∴a_na_n+1=

1

3

（a_n-a_n+1），
∴c_n=

1

3

（a_n-a_n+1）
∴{C_n}的前n项和为S_n=

1

3

[（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-a_n+1）=

1

3

（a₁-a_n+1）
=

1

3

（2-

2

6n+1

）=

4n

6n+1

．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法求和，确定数列的通项是关键．