Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2．
（1）求二面角B-AC₁-C的大小；
（2）求点C到平面ABC₁的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件，可先在图中作出二面角的平面角，如图作BE⊥AC于E，由条件，E为AC的中点且BE⊥面AC₁C，过点E作EF⊥AC₁于F，连接BF，可由线面角的定义判断出∠EFB为二面角B-AC₁-C的平面角，然后在直角三角形EFB中求角即可得到答案．
（2）由题设条件，可在图中构造出过C且垂直于平面ABC₁的平面，将点到面的距离转化成点到线的距离求解，如图作CN⊥AB于N，连接C₁N，作CM⊥C₁N于M，可证得CM⊥平面ABC₁，即CM即为所求点C到平面ABC₁的距离，再由等面积法求出CM的长度即可得到所求的点到面的距离．
解答：解：（1）作BE⊥AC于E，由条件，E为AC的中点且BE⊥面AC₁C，过点E作EF⊥AC₁于F，连接BF，
∵BE⊥面AC₁C，AC₁?面AC₁C，
∴BE⊥AC₁，则∠EFB为二面角B-AC₁-C的平面角．
根据条件，可得，
∴，
∴二面角B-AC₁-C的大小为．
（2）如图，作CN⊥AB于N，连接C₁N，
∵AB⊥CC₁，C₁N∩CN=N，
∴AB⊥面NCC₁，从而得平面ABC₁⊥平面CC₁N，
作CM⊥C₁N于M，则CM⊥平面ABC₁，故CM即为所求点C到平面ABC₁的距离
，即点B₁到平面ABC₁的距离为．
点评：本题考查点到面距离的求法与二面角的求法，熟练掌握二面角平面角的定义作出二面角的平面角及根据图形几何特征作出点到面的距离是解本题的关键，考查了数形结合的与转化的思想，是立体几何题中常规题，难度较高．