Question

设M={x|

2x-2

x+3

＞1}，N={x|x²+（a-8）x-8a≤0}，命题p：x∈M，命题q：x∈N．
（Ⅰ）当a=-6时，试判断命题p是命题q的什么条件；
（Ⅱ）求a的取值范围，使命题p是命题q的一个必要但不充分条件．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解分式不等式求出M={x|x＜-3或x＞5}，当a=-6时，解一元二次不等式求出N={x|6≤x≤8}，由此能够得到命题p是命题q的必要不充分条件．
（Ⅱ）由M={x|x＜-3或x＞5}，N={x|（x-8）（x+a）≤0}，命题p是命题q的必要不充分条件，分类讨论能够求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）M={x|

2x-2

x+3

＞1}={x|x＜-3或x＞5}，
当a=-6时，N={x|x²+（a-8）x-8a≤0}={x|x²-14x+48≤0}={x|6≤x≤8}，
∵命题p：x∈M，命题q：x∈N，
∴q⇒p，p推不出q，
∴命题p是命题q的必要不充分条件．
（Ⅱ）∵M={x|x＜-3或x＞5}，N={x|（x-8）（x+a）≤0}，
命题p是命题q的必要不充分条件，
当-a＞8，即a＜-8时，N={x|8＜x＜-a}，此时命题成立；
当-a=8，即a=-8时，N={8}，命题成立；
当-a＜8，即a＞-8时，此时N={-a＜x＜8}，故有-a＞5，解得a＜-5，
综上所述，a的取值范围是{a|a＜-5}．

点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．