Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，4），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$（λ∈R），当λ为何值时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为45°？

Answer 1

分析 利用夹角公式求出夹角余弦，列出方程解出．

解答 解：$\overrightarrow{c}$=（1-3λ，2+4λ），∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=1-3λ+2（2+4λ）=5λ+5．|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（1-3λ）^{2}+（2+4λ）^{2}}$=$\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}$．
∴cos45°=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{5λ+5}{\sqrt{5}•\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．解得λ=1，或λ=-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算与夹角公式，是基础题．