Question

（2012•深圳一模）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，AB=2，BD=

2

，沿BD将△BCD折起，使二面角A-BD-C是大小为锐角α的二面角，设C在平面ABD上的射影为O．

（1）当α为何值时，三棱锥C-OAD的体积最大？最大值为多少？
（2）当AD⊥BC时，求α的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意可得BD⊥OD，可得S△AOD=

1

2

OD•BD，OC⊥平面ABDO，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由AD⊥BC，?

AD

•

BC

=0，即可得出．

解答：解：（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，
∵BD⊥CD，CO⊥平面ABD，∴BD⊥OD，
∴∠ODC=α，则OC=CDsinα，OD=CDcosα．
∴VC-AOD=

1

3

S△AOD•OC=

1

3

•

1

2

•OD•BD•OC
=

2

6

•OD•OC=

2

6

•CD•sinα•CD•cosα=

2

3

•sin2α≤

2

3

，
当且仅当sin2α=1，即α=45°时取等号，
∴当α=45°时，三棱锥O-ACD的体积最大，最大值为

2

3

．        
（2）过O作OE⊥AB于E，则OEBD为矩形，
以O为原点，OE，OD，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0， 0， 0)， D(0， 2cosα， 0)， A(

2

， 2cosα-2， 0)，
B(

2

， 2cosα， 0)，C(0， 0， 2sinα)，
于是

AD

=(-

2

， 2， 0)，

BC

=(-

2

，  -2cosα， 2sinα)，
由AD⊥BC，得

AD

•

BC

=0，
∴(-

2

)×(-

2

)+2×(-2cosα)+0×2sinα=0，
得cosα=

1

2

，又α为锐角，∴α=60°．

点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．