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给定项数为的数列,其中.

若存在一个正整数,若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等,则称数列是“k阶可重复数列”,

例如数列

因为按次序对应相等,所以数列是“4阶可重复数列”.

(Ⅰ)分别判断下列数列

      ②

是否是“5阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这5项;

(Ⅱ)若数为的数列一定是 “3阶可重复数列”,则的最小值是多少?说明理由;

(III)假设数列不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且,求数列的最后一项的值.

同下


解析:

(Ⅰ)记数列①为,因为按次序对应相等,所以数列①是“5阶可重复数列”,重复的这五项为0,0,1,1,0;                         

记数列②为,因为没有完全相同的,所以不是“5阶可重复数列”. 3分

(Ⅱ)因为数列的每一项只可以是0或1,所以连续3项共有种不同的情形.若m=11,则数列中有9组连续3项,则这其中至少有两组按次序对应相等,即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”;若m=10,数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”;则时,均存在不是“3阶可重复数列”的数列.所以,要使数列一定

是“3阶可重复数列”,则m的最小值是11.                        ……………….8分

(III)由于数列在其最后一项后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,即在数列的末项后再添加一项,则存在

使得按次序对应相等,或按次序对应相等,                                                

如果不能按次序对应相等,那么必有,使得按次序对应相等.

此时考虑,其中必有两个相同,这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等,从而数列是“5阶可重复数列”,这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾!所以按次序对应相等,从而….14分

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4、给定项数为m(m∈N*,m≥3)的数列{an},其中ai∈{0,1}(i=1,2,…,m).若存在一个正整数k(2≤k≤m-1),若数列{an}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等,则称数列{an}是“k阶可重复数列”,例如数列{an}:0,1,1,0,1,1,0.因为a1,a2,a3,a4与a4,a5,a6,a7按次序对应相等,所以数列{an}是“4阶可重复数列”.
(Ⅰ)分别判断下列数列
①{bn}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0.
②{cn}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.是否是“5阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这5项;
(Ⅱ)若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”,则m的最小值是多少?说明理由;
(Ⅲ)假设数列{an}不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且a4=1,求数列{an}的最后一项am的值.

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例如数列

因为按次序对应相等,所以数列是“4阶可重复数列”.

(Ⅰ)分别判断下列数列

      ②

是否是“5阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这5项;

(Ⅱ)若数为的数列一定是 “3阶可重复数列”,则的最小值是多少?说明理由;

(III)假设数列不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且,求数列的最后一项的值.

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(Ⅰ)分别判断下列数列
①{bn}:0,0,0,1,1,0,0,1,1,0.
②{cn}:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.是否是“5阶可重复数列”?如果是,请写出重复的这5项;
(Ⅱ)若数为m的数列{an}一定是“3阶可重复数列”,则m的最小值是多少?说明理由;
(Ⅲ)假设数列{an}不是“5阶可重复数列”,若在其最后一项am后再添加一项0或1,均可使新数列是“5阶可重复数列”,且a4=1,求数列{an}的最后一项am的值.

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