Question

11．已知A是射线x+y=0（x≤0）上的动点，B是x轴正半轴的动点，若直线AB与圆x²+y²=1相切，则|AB|的最小值是$2+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设A（-a，a），B（b，0）（a，b＞0），利用直线AB与圆x²+y²=1相切，结合基本不等式，得到$ab≥2+2\sqrt{2}$，即可求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（-a，a），B（b，0）（a，b＞0），则直线AB的方程是ax+（a+b）y-ab=0．
因为直线AB与圆x²+y²=1相切，所以$d=\frac{ab}{{\sqrt{{a^2}+{{（a+b）}^2}}}}=1$，化简得2a²+b²+2ab=a²b²，
利用基本不等式得${a^2}{b^2}=2{a^2}+{b^2}+2ab≥2\sqrt{2}ab+2ab$，即$ab≥2+2\sqrt{2}$，
从而得$|AB|=\sqrt{{{（a+b）}^2}+{a^2}}=ab≥2+2\sqrt{2}$，
当$b=\sqrt{2}a$，即$a=\sqrt{2+\sqrt{2}}，b=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$时，|AB|的最小值是$2+2\sqrt{2}$．
故答案为$2+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆的切线，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．