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(2013•浙江模拟)已知同一平面上的向量
PA
PB
AQ
BQ
满足如下条件:
|
PA
+
PB
|=|
AB
|=2
; 
(
AB
|
AB
|
+
AQ
|
AQ
|
)•
BQ
=0
; 
|
AB
+
AQ
|=|
AB
-
AQ
|

|
PQ
|
的最大值与最小值之差是
2
2
分析:根据②③判断出四边形ABCQ是正方形,并建立坐标系,找出A,B,C及Q的坐标,设出P的坐标,利用向量的坐标运算求出
PA
+
PB
的坐标,由①和向量的模列出关系式,化简后可得到点P的轨迹方程,其轨迹方程为一个圆,找出圆心坐标和半径,根据平面几何知识即可得到|PQ|的最大值及最小值.
解答:解:根据②③画出图形如下:并以AB 为x轴,以AQ为y轴建立坐标系,

|
AB
+
AQ
|=|
AB
-
AQ
|
,∴|
AC
|=|
QB
|
,则四边形ABCQ是矩形,
(
AB
|
AB
|
+
AQ
|
AQ
|
)•
BQ
=0
,∴AC⊥BQ,则四边形ABCQ是正方形,
则A(0,0),B(2,0),Q(0,2),C(2,2),设P(x,y),
PA
+
PB
=(-x,-y)+(2-x,-y)=(2-2x,-2y),
|
PA
+
PB
|=|
AB
|=2
,∴(2-2x)2+4y2=4,化简得(x-1)2+y2=1,
则点P得轨迹是以(1,0)为圆心,以1为半径的圆,
∴|PQ|是点Q(0,2)到圆(x-1)2+y2=1任一点的距离,
则|PQ|最大值是
5
+1,最小值是
5
-1,
|
PQ
|
的最大值与最小值之差是2,
故答案为2.
点评:本题题考查了向量的线性运算的几何意义,数量积的性质,以及圆的标准方程和两点间的距离公式,解本题的关键是根据题意正确画出图形,并判断出特征,再建立合适的平面直角坐标系,找出动点P的轨迹方程,难度较大,体现了向量问题、几何问题和代数问题的转化.
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3
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π
2
,-
π
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)
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-
3
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-
3
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