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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=90°,点M是BC的中点,点N在侧棱CC1上.
(1)当线段CN的长度为多少时,NM⊥AB1
(2)若MN⊥AB1,求异面直线B1N与AB所成的角的正切值;
(3)若MN⊥AB1,求二面角A-B1N-M的大小
(4)若MN⊥AB1,求点M到平面AB1N的距离.
分析:(1)先根据条件得到MN⊥面AB1M,再结合B1C12+NC12=B1M2+NM2即可求出结论.
(2)AB平行于A1B1,∠A1BN就是异面直线所成的角,转化为求∠A1BN
(3)作ME⊥B1N,交B1N于E可得∠AEM为二面角A--B1N-M的平面角;计算出tan∠AEM即可.
(4)作MH⊥AE于H,根据条件得到MH的长即为点M到平面AB1N的距离,然后在直角三角形AME中,求出MH即可.
解答:解:(1)∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=AC=1,∠BAC=90°,点M为BC中点,
∴AM⊥BC,AM⊥面BCC1B1
∴AM⊥MN,NM⊥AB1;AM∩AB1=A
所以MN⊥AB1M
BC=B1C1=
2

设CN=x,则NC1=2-x
B1C12+NC12=B1M2+NM2
2+(2-x)2=22+(
1
2
)
2
+(
1
2
)
2
+x2
解得x=
1
4

(2)∵AB∥A1B1
∴异面直线B1N与AB所成的角为∠A1BN
∵面ABB1A1⊥面ACC1A1
∴B1A1⊥面ACC1A1,B1A1⊥A1N
A1N=
A1C1 2+C1N2 
=
1+(
7
4
)
2
=
65
4

∴tan∠A1BN=
A1N
A1B1
=
65
4

(3)连接AM,M为BC中点,∴AM⊥BC,AM⊥面BCC1B1
作ME⊥B1N,交B1N于E,连接AE,∴AE⊥B1N (三垂线定理)
∴∠AEM为二面角A--B1N-M的平面角
B1N2=22+
1
2
+(
1
4
)
2
=
81
16
⇒B1N=
9
4

NM2=
1
2
+(
1
4
)
2

设EN=x,∵△B1NM为直角三角形,∴NM2=x•B1N
9
16
=
9x
4
⇒x=
1
4

ME=
MN2-EN2
=
2
2

AM=
2
2

∴tan∠AEM=
AM
EM
=1
∴二面角A-B1N-M为45°.
(4)作MH⊥AE于H,①
由第三问得B1N⊥平面AEM,所以B1N⊥MH,②
AE∩B1N=E    ③
结合①②③得:MH⊥平面AB1N;
∴MH的长即为点M到平面AB1N的距离
在直角三角形AME中,MH=MEsin∠AEM=MEsin45°=
2
2
×
2
2
=
1
2

即点M到平面AB1N的距离为:
1
2
点评:本题主要考察二面角的平面角及求法以及异面直线及其所成的角和点到面的距离计算,是对立体几何知识的综合考察,难度较高,综合性强.
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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科目:高中数学 来源:2011年四川省招生统一考试理科数学 题型:解答题

 

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[来源:]

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学理(四川卷)解析版 题型:解答题

 (本小题共l2分)

    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

 

 

 

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科目:高中数学 来源:四川省高考真题 题型:解答题

如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA。
(I)求证:CD=C1D;
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    如图,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA.

(I)求证:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离.

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