Question

（2012•泸州一模）已知圆C：x²+y²=r²（r＞0）与抛物线y²=40x的准线相切，若直线l：

x

a

+ 

y

b

=1与圆C有公共点，且公共点都为整点（整点是指横坐标．纵坐标都是整数的点），那么直线l共有（　　）

A．60条

B．66条

C．72条

D．78条

Answer 1

分析：由题意可求r=10，从而可求出x²+y²=100上的整点个数，共12个点，由题意可知直线 

x

a

+

y

b

=1（a，b为非零实数）与x，y轴不平行，不经过原点，求出所有的直线的条数，去掉不满足题意的直线的条数即可．

解答：解：∵圆C：x²+y²=r²（r＞0）与抛物线y²=40x的准线x=-10相切，
∴r=10，
∴圆C的方程为：x²+y²=100．
∴圆x²+y²=100上的整点为（0，±10），（±6，±8），（±8，±6），（±10，0），共12个点，
∵直线

x

a

+

y

b

=1（a，b为非零实数），
∴直线与x，y轴不平行，不经过原点，
①过每个整点都有一条圆的切线，共12条，不符合要求的4条，分别是过与坐标轴的交点的切线；
②又任意两点连线有

C

2 12

条，
过圆上两整点与x，y轴平行的有8条（x=±6，±8，y=±6，±8），暂不包括x轴与y轴；
经过原点的有6条（包括x轴与y轴），
综①②知，符合条件的直线共有

C

2 12

+（12-4）-8-6=60．
故选A．

点评：本题考查直线与圆的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，恰当地借助数形结合进行求解，属于难题．