已知椭圆的右准线,离心率,,是椭圆上的两动点,动点满足,(其中为常数).
(1)求椭圆标准方程;
(2)当且直线与斜率均存在时,求的最小值;
(3)若是线段的中点,且,问是否存在常数和平面内两定点,,使得动点满足,若存在,求出的值和定点,;若不存在,请说明理由.
(1);(2);(3),
解析试题分析:(1)根据题意由已知可得:,进而求出基本量,得到椭圆方程; ;(2)由题中,可得中点与原点的斜率即为,即可化简得:,结合基本不等式求最值,即由得;(3)由(2)中已求出,即,可化简得:,再结合条件,代入化简可得: ,最后由点在椭圆上可得: ,即,化简即P点是椭圆上的点,利用椭圆知识求出左、右焦点为.
(I)由题设可知:∴.又,∴.
椭圆标准方程为. 5分
(2)设则由得.
∴ .
由得当且仅当时取等号 10分
(3).
∴.∴. 11分
设,则由得 ,
即 y2. 因为点A、B在椭圆上,
所以 .
所以. 即,所以P点是椭圆上的点,
设该椭圆的左、右焦点为,,则由椭圆的定义
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某小区想利用一矩形空地建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中,,且中,,经测量得到.为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏.设计时经过点作一直线交于,从而得到五边形的市民健身广场,设.
(1)将五边形的面积表示为的函数;
(2)当为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如下图所示,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.
(1)若点的坐标为,求的值;
(2)若椭圆上存在点,使得,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
要制作一个如图的框架(单位:m),要求所围成的总面积为19.5(m2),其中ABCD是一个矩形,EFCD是一个等腰梯形,梯形高h=AB,tan∠FED=,设AB=xm,BC=ym.
(1)求y关于x的表达式;
(2)如何设计x、y的长度,才能使所用材料最少?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为,短轴一个端到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程:
(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线的距离为,求△AOB面积的最大值.
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