Question

18．设命题p：函数f（x）=lg（x²+ax+1）的定义域为R；命题q：函数f（x）=x²-2ax-1在（-∞，-1]上单调递减．
（1）若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的不等式（x-m）（x-m+5）＜0（m∈R）的解集为M；命题p为真命题时，a的取值集合为N．当M∪N=M时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先分别求出p真，q真时的x的范围，再通过讨论p真q假或p假q真的情况，从而求出a的范围；（2）根据M、N的关系，得到不等式组，解出即可．

解答 解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R
∴x²+ax+1＞0对?x∈R恒成立，
∴△=a²-4＜0，解得：-2＜a＜2，
若q真，则a≥-1，
∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真
∵$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a＜-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-2或a≥2}\\{a≥-1}\end{array}\right.$，解得：-2＜a＜-1或a≥2．
（2）∵M∪N=M∴N⊆M，
∵M=（m-5，m），N=（-2，2）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m-5≤-2}\\{m≥2}\end{array}}\right.$，解得：2≤m≤3．

点评 本题考查了集合之间的关系，考查复合命题的性质，本题是一道中档题．