设数列{an}的前n项和为Sn.若对于任意的n∈N*.都有Sn=2an-3n．(Ⅰ)求{an}的首项a1与递推关系式:an+1=f(an),(Ⅱ)先阅读下面定理:“若数列{an}有递推关系an+1=Aan+B.其中A.B为常数.且A≠1.B≠0.则数列{an-B4-A}是以A为公比的等比数列．请你在(Ⅰ)的基础上应用本定理.求数列{an}的通项公式,(Ⅲ)求数列{an}的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（Ⅰ）求{a_n}的首项a₁与递推关系式：a_n+1=f（a_n）；
（Ⅱ）先阅读下面定理：“若数列{a_n}有递推关系a_n+1=Aa_n+B，其中A，B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{a_n-

4-A

}是以A为公比的等比数列．”请你在（Ⅰ）的基础上应用本定理，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

考点：数列的求和,数列递推式,类比推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）令n=1，由S₁=2a₁-3，知a₁=3，再由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
由此能求出a_n+1=2a_n+3；
（Ⅱ）按照定理得A=2，B=3，则{a_n+3}是公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由a_n=6•2^n-1-3的特点，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式求出S_n．

解答： 解：（I）令n=1，S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
两式相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
即a_n+1=2a_n+3…（4分）
（II）按照定理：“若数列{a_n}有递推关系a_n+1=Aa_n+B（A，B为常数，且A≠1，B≠0），
则数列{a_n-

1-A

}是以A为公比的等比数列”，得A=2，B=3，
则a_n-

1-A

=a_n+3，所以{a_n+3}是公比为2的等比数列．
则an+3=(a1+3)•2n-1=6×2n-1，
即an=6×2n-1-3． …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=6×2n-1-3，
所以S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2^n-1-3）
=

6(1-2n)

1-2

-3n=6×2n-3n-6 …（13分）

点评：本题考查数列的S_n与a_n的关系式，等比数列的通项公式、前n项和公式，以及数列的求和方法：分组求和法，考查化简、灵活变形能力．

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