Question

ÉèÊýÁÐ{a_n}µÄÇ°nÏîºÍΪS_n£¬Èô¶ÔÓÚÈÎÒâµÄn¡ÊN^*£¬¶¼ÓÐS_n=2a_n-3n£®
£¨¢ñ£©Çó{a_n}µÄÊ×Ïîa₁ÓëµÝÍƹØϵʽ£ºa_n+1=f£¨a_n£©£»
£¨¢ò£©ÏÈÔĶÁÏÂÃ涨Àí£º¡°ÈôÊýÁÐ{a_n}ÓеÝÍƹØϵa_n+1=Aa_n+B£¬ÆäÖÐA£¬BΪ³£Êý£¬ÇÒA¡Ù1£¬B¡Ù0£¬ÔòÊýÁÐ{a_n-

B

4-A

}ÊÇÒÔAΪ¹«±ÈµÄµÈ±ÈÊýÁУ®¡±ÇëÄãÔÚ£¨¢ñ£©µÄ»ù´¡ÉÏÓ¦Óñ¾¶¨Àí£¬ÇóÊýÁÐ{a_n}µÄͨÏʽ£»
£¨¢ó£©ÇóÊýÁÐ{a_n}µÄÇ°nÏîºÍS_n£®

Answer 1

¿¼µã£ºÊýÁеÄÇóºÍ,ÊýÁеÝÍÆʽ,Àà±ÈÍÆÀí

רÌ⣺µÈ²îÊýÁÐÓëµÈ±ÈÊýÁÐ

·ÖÎö£º£¨¢ñ£©Áîn=1£¬ÓÉS₁=2a₁-3£¬Öªa₁=3£¬ÔÙÓÉS_n+1=2a_n+1-3£¨n+1£©£¬S_n=2a_n-3n£¬µÃa_n+1=2a_n+1-2a_n-3£¬
ÓÉ´ËÄÜÇó³öa_n+1=2a_n+3£»
£¨¢ò£©°´ÕÕ¶¨ÀíµÃA=2£¬B=3£¬Ôò{a_n+3}Êǹ«±ÈΪ2µÄµÈ±ÈÊýÁУ¬ÓɵȱÈÊýÁеÄͨÏʽÇó³ö{a_n}µÄͨÏʽ£»
£¨¢ó£©ÓÉa_n=6•2^n-1-3µÄÌص㣬ÀûÓ÷Ö×éÇóºÍ·¨ºÍµÈ±ÈÊýÁеÄÇ°nÏîºÍ¹«Ê½Çó³öS_n£®

½â´ð£º ½â£º£¨I£©Áîn=1£¬S₁=2a₁-3£¬½âµÃa₁=3£¬
ÓÖS_n+1=2a_n+1-3£¨n+1£©£¬S_n=2a_n-3n£¬
Á½Ê½Ïà¼õµÃa_n+1=2a_n+1-2a_n-3£¬
¼´a_n+1=2a_n+3¡­£¨4·Ö£©
£¨II£©°´ÕÕ¶¨Àí£º¡°ÈôÊýÁÐ{a_n}ÓеÝÍƹØϵa_n+1=Aa_n+B£¨A£¬BΪ³£Êý£¬ÇÒA¡Ù1£¬B¡Ù0£©£¬
ÔòÊýÁÐ{a_n-

B

1-A

}ÊÇÒÔAΪ¹«±ÈµÄµÈ±ÈÊýÁС±£¬µÃA=2£¬B=3£¬
Ôòa_n-

B

1-A

=a_n+3£¬ËùÒÔ{a_n+3}Êǹ«±ÈΪ2µÄµÈ±ÈÊýÁУ®
Ôòan+3=(a1+3)•2n-1=6¡Á2n-1£¬
¼´an=6¡Á2n-1-3£®         ¡­£¨8·Ö£©
£¨¢ó£©ÓÉ£¨¢ò£©µÃ£¬an=6¡Á2n-1-3£¬
ËùÒÔS_n=£¨6-3£©+£¨6¡Á2-3£©+£¨6¡Á3-3£©+¡­+£¨6¡Á2^n-1-3£©
=

6(1-2n)

1-2

-3n=6¡Á2n-3n-6 ¡­£¨13·Ö£©

µãÆÀ£º±¾Ì⿼²éÊýÁеÄS_nÓëa_nµÄ¹Øϵʽ£¬µÈ±ÈÊýÁеÄͨÏʽ¡¢Ç°nÏîºÍ¹«Ê½£¬ÒÔ¼°ÊýÁеÄÇóºÍ·½·¨£º·Ö×éÇóºÍ·¨£¬¿¼²é»¯¼ò¡¢Áé»î±äÐÎÄÜÁ¦£®