Question

数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n²-2a_n+2（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}中的任两项互质．
（3）记bn=

1

an

+

1

an-2

，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S₂₀₀₉的整数部分．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=a_n²-2a_n+2可得，a_n-1=（a_n-1-1）²，利用迭代的方法可求通项公式
（2）由a_n-2=a_n-1（a_n-1-2），利用迭代法可得，a_n=a_n-1a_n-2…a₂a₁+2，结合（1）中的通项公式可知a_n为奇数，可证明
（3）由a_n+1-2=a_n（a_n-2），可得

2

an+1-2

=

1

an-2

-

1

an

，结合已知，可得bn=

2

an-2

-

2

an+1-2

，利用叠加法可求S₂₀₀₉，从而可求

解答：解：（1）由题意可得，an-1=(an-1-1)2=(an-2-1)22=…=(a2-1)2n-2=(a1-1)2n-1=22n-1
当n=1，a1-1=221-1也成立，所以an=22n-1+1（5分）
证明：（2）因为a_n-2=a_n-1（a_n-1-2）=a_n-1a_n-2（a_n-2-2）=…=a_n-1a_n-2…a₂a₁
所以a_n=a_n-1a_n-2…a₂a₁+2，（9分）；
因为a_n为奇数，所以对任意的n＞1，a_n与前面项a₁，a₂，…，a_n-1均互质．（12分）．
解：（3）因为a_n+1-2=a_n（a_n-2）
所以，

1

an+1-2

=

1

an(an-2)

=

1

2

(

1

an-2

-

1

an

)
所以

2

an+1-2

=

1

an-2

-

1

an

，又因为bn=

1

an

+

1

an-2

，
所以bn=

2

an-2

-

2

an+1-2

16分）；
所以S₂₀₀₉=b₁+b₂+…+b₂₀₀₉
=

2

a1-2

-

2

a2-2

+

2

a2-2

-

2

a3-2

+…+

2

a2009-2

-

2

a2010-2

∴S2009=

2

a1-2

-

2

a2010-2

=2-

2

222010-1

∵0＜

2

222010-1

＜1
∴1＜2-

2

222010

＜2
所以S₂₀₀₉的整数部分为1（19分）．

点评：本题主要考查了数列中迭代法求解数列的通项公式，叠加法求解数列的和，解题中要求考生具备一定的逻辑推理与运算的能力．