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已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀，使得对于任意实数x₁，x₂，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对于任意正整数n，有 $数学公式$ ，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较 $数学公式$ 与T_n的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式 $数学公式$ 对任意
不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

解：（1）令x₁=x₂=0?f（x₀）=-f（0）．又令x₁=1，x₂=0，f（1）=-f（0）．
∴f（x₀）=f（1），由函数f（x）单调性知，x₀=1．
（2）由（1）知，f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+f（1）=f（x₁）+f（x₂）+1，
由x₁，x₂的任意性，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，
∴f（n）=2n-1．（n∈N^*）．
∴ $\text{[math]}$ ．
又∵ $\text{[math]}$ ．
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
由数列求和方法知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
∵4ⁿ=（3+1）ⁿ=C_nⁿ3ⁿ+C_n^n-13^n-1+…+C_n¹3+C_n⁰≥3n+1＞2n+1，∴ $\text{[math]}$ ．
（3）令F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n?F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1= $\text{[math]}$ （通分易证）∴当n≥2时， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
解此不等式，所以x的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）分别令x₁=x₂=0，x₁=1，x₂=0，f（x₀）=f（1），又因为f（x）为单调函数，从而可求x₀的值；
（2）由（1）得f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1，，令x₁=n，x₂=1，f（n+1）=f（n）+f（1）+1=f（n）+2，f（n）=2n-1．故可求a_n进而可有 $\text{[math]}$ ，从而可求通项，故可证；
（3）构造函数F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n，证明n≥2时，为单调减函数，从而可求x的取值范围．
点评：本题以新定义为载体，考查抽象函数，考查赋值法，同时考查构造函数，利用函数的单调性解决恒成立问题．

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（ii）x₀的值为

．

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已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x₀，使得对于任意实数x₁，x₂总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立
（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对任意正整数n，有an=

f(n)

，bn=f(

)+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，求S_n和T_n；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

[log

(x+1)-log

(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

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（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{a_n}满足a1=f(0)且f(an+1)=

f(-2-an)

(n∈N+)，
①求通项公式a_n的表达式；
②令bn=(

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

a1a2

a2a3

+…+

anan+1

，试比较Sn与

Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式

an+1

an+2

+…+

a2n

＞

(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

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（1）求x₀的值；
（2）若f（x₀）=1，且对于任意正整数n，有an=

f(n)

，bn=f(

)+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较

Sn与T_n的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞

[log

(x+1)-log

(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．

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f(n)

，bn=f(

)+1，记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，比较

Sn与T_n的大小关系，并给出证明．

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