Question

已知命题（1）?α∈R，使sinαcosα=1成立；（2）?α∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ成立；（3）?α∈R，都有tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

成立．其中正确命题的个数是（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：本题考查的知识点是全称量词和特称（存在）量词，（1）则二倍角公式我们可将sinαcosα化为

1

2

sin2α，结合正弦型函数的值域，我们易得

1

2

sin2α的值为为：[-

1

2

，

1

2

]，判断其与1的关系，易得结论；（3）中要说明存在命题，?α∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ成立，我们只要举出一个例子即可，令α=β=0显然满足要求；（3）中，要说明一个全称命题不正确，我们要举出一个反例，根据正切函数的定义域，我们易举出反例．

解答：解：（1）中，∵sinαcosα=

1

2

sin2α≤

1

2

恒成立，故?α∈R，使sinαcosα=1成立为假命题；
（2）中当α=β=0时，tan（α+β）=tanα+tanβ成立，故?α∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ成立为真命题；
（3）中当α、β或α+β的终边落中Y轴上时，tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

无意义，故）?α∈R，都有tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

成立为假命题．
故正确命题的个数1个
故选C

点评：在全称命题的真假判断中，我说明命题为真命题，我们要有严格的证明，但要说明命题是假命题，我们只要举出一个反例即可．