【题目】已知抛物线C经过点(3,6)且焦点在x轴上.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)直线l: 过抛物线C的焦点F且与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
【答案】(1)y2=12x.(2)24.
【解析】试题分析:
(1)很明显抛物线开口向右,设所求抛物线为y2=2px(p>0),利用待定系数法可得抛物线方程为y2=12x.
(2)由(1)知F(3,0),据此可得l的方程为y=x-3,联立直线方程与抛物线方程可得x2-18x+9=0,结合韦达定理和抛物线的焦点弦公式可得|AB|=x1+x2+6=24.
试题解析:
(1)很明显抛物线开口向右,设所求抛物线为y2=2px(p>0),
代入点(3,6),得p=6.
∴抛物线方程为y2=12x.
(2)由(1)知F(3,0),代入直线l的方程得k=1.
∴l的方程为y=x-3,联立方程
消去y得x2-18x+9=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=18.
∵AB过焦点F,∴|AB|=x1+x2+6=24.
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【题目】已知f(x)= ,若函数y=f(x)﹣kx恒有一个零点,则k的取值范围为( )
A.k≤0
B.k≤0或k≥1
C.k≤0或k≥e
D.k≤0或k≥
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【题目】已知椭圆E: =1(a>b>0),倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M、N两点,且线段MN的中点为(﹣1,
).过椭圆E内一点P(1,
)的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D,且满足
,其中λ为实数.当直线AP平行于x轴时,对应的λ=
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)当λ变化时,kAB是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.
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【题目】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等,请选择适当的探究顺序,研究函数的性质,并在此基础上填写下表,作出f(x)在区间[-π,2π]上的图象.
性质 | 理由 | 结论 | 得分 |
定义域 | |||
值域 | |||
奇偶性 | |||
周期性 | |||
单调性 | |||
对称性 | |||
作图 |
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【题目】已知函数f(x)=x2(lnx+lna)(a>0).
(1)当a=1时,设函数g(x)= ,求函数g(x)的单调区间与极值;
(2)设f′(x)是f(x)的导函数,若 ≤1对任意的x>0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若x1 , x2∈( ,1),x1+x2<1,求证:x1x2<(x1+x2)4 .
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【题目】已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求f(8)的值;
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
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