Question

已知二次函数f（x）的图象顶点为A（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，2]时，关于x的函数g（x）=f（x）-（t-x）x-3的图象始终在x轴上方，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）∵二次函数图象顶点为（1，16），
∴函数的对称轴为x=1
∵在x轴上截得线段长为8，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0），（5，0），…（2分）
又∵开口向下，设原函数为f（x）=a（x+3）（x-5）（a＜0）…（4分）
将（1，16）代入得a=-1，…（6分）
∴所求函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+2x+15．…（7分）
（2）g（x）=f（x）-（t-x）x-3=（2-t）x+12，x∈[0，2]…（9分）
由g（x）得图象在x轴上方，根据一次函数的性质可得

g(0)＞0 g(2)＞0

，…（12分）
即-2t+16＞0
解得t＜8…（14分）