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【题目】已知函数

(1)当时,证明的图象与轴相切;

(2)当时,证明存在两个零点.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

(1)先求导,再设切点,求出切点坐标,即可证明,

(2)分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值,即可证明.

证明:(1)当a=1时,fx)=(x﹣2)lnx+x﹣1.

f′(x)=lnx++1,

fx)与x轴相切,切点为(x0,0),

fx0)=(x0﹣2)lnx0+x0﹣1=0

f′(x0)=lnx0++1=0,

解得x0=1或x0=4(舍去)

x0=1,

∴切点为(1,0),

fx)的图象与x轴相切

(2)∵fx)=(x﹣2)lnx+ax﹣1=0,

alnx+

gx)=lnx+

g′(x)=﹣+

hx)=1﹣2x﹣2lnx

易知hx)在(0,+∞)为减函数,

h(1)=1﹣1﹣2ln1=0,

∴当x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数gx)单调递增,

x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,函数gx)单调递减,

gxmaxg(1)=1,

x→0时,gx)→﹣∞,当x→+∞时,gx)→﹣∞,

∴当a<1时,ygx)与ya有两个交点,

即当a<1时,证明fx)存在两个零点

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