Question

（2013•北京）设l为曲线C：y=

lnx

x

在点（1，0）处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．

Answer 1

分析：（I）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解
（II）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．

解答：解：（I）∵y=

lnx

x

∴y′=

1-lnx

x2

∴l的斜率k=y′|_x=1=1
∴l的方程为y=x-1
证明：（II）令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
则f′（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即

lnx

x

＜x-1
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即

lnx

x

＜x-1
即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方

点评：本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．