Question

已知函数，其导函数为f′（x）．
（1）求f′（x）的最小值；
（2）证明：对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）和实数λ₁≥0，λ₂≥0且λ₁+λ₂=1，总有f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）；
（3）若x₁，x₂，x₃满足：x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0且x₁+x₂+x₃=3，求f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最小值．

Answer 1

（1）解：f′（x）=e^x-x，f''（x）=e^x-1
当x∈（-∞，0）时，f''（x）=e^x-1＜0，即f′（x）在区间（-∞，0）上为减函数；
当x∈[0，+∞）时，f''（x）=e^x-1≥0，即f′（x）在区间[0，+∞）上为增函数；
于是f′（x）的最小值为f′（0）=1．
（2）证明：不妨设x₁≤x₂，构造函数K（x）=f（λ₁x+λ₂x₂）-λ₁f（x）-λ₂f（x₂）（x∈[0，x₂]），
则有K（x₂）=f（λ₁x₂+λ₂x₂）-λ₁f（x₂）-λ₂f（x₂）=0，
则，
而λ₁x+λ₂x₂-x=（λ₁-1）x+λ₂x₂=λ₂（x₂-x）≥0，所以λ₁x+λ₂x₂≥x，
由（1）知f′（x）在区间[0，+∞）上为增函数，
所以，即K′（x）≥0，
所以K（x）在[0，x₂]上单调递增，
所以K（x）≤K（x₂）=0，即f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）．
（3）解：先证对任意的x₁，x₂，x₃∈[0，+∞）和实数λ₁≥0，λ₂≥0，λ₃≥0，且λ₁+λ₂+λ₃=1，
总有f（λ₁x₁+λ₂x₂+λ₃x₃）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+λ₃f（x₃），
=λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+λ₃f（x₃），
令，有，
当x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0且x₁+x₂+x₃=3时，有．
所以f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最小值为3e-．
分析：（1）求出f′（x），利用导数判断f′（x）的单调性，由单调性即可求得其最小值；
（2）不妨设x₁≤x₂，构造函数K（x）=f（λ₁x+λ₂x₂）-λ₁f（x）-λ₂f（x₂）（x∈[0，x₂]），只需证明K（x）≤0，由（1）可判断K′（x）≥0，从而知函数K（x）在[0，x₂]上单调递增，故而K（x）≤K（x₂），得证；
（3）先证对任意的x₁，x₂，x₃∈[0，+∞）和实数λ₁≥0，λ₂≥0，λ₃≥0，且λ₁+λ₂+λ₃=1，总有f（λ₁x₁+λ₂x₂+λ₃x₃）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+λ₃f（x₃），运用（2）的结论容易证明，再令，即可求得其最小值．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查学生对问题的转化能力，本题综合性强，难度大，能力要求高．