Question

已知命题p：?x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|；命题q：?x，y∈R⁺且x+y=1，有xyk≤x+4y．若p∧q为真，则实数k的取值范围是（　　）

A．[-1，9]

B．[1，9]

C．[-1，8]

D．[1，8]

Answer 1

分析：本题考查复合命题，解决的方法是：将k+|x-2|≥|x-1|和xyk≤x+4y分别变形后求出k的取值范围，最后求交集．

解答：解：命题p：?x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|成立，
∴有：?x∈R，k≥|x-1|-|x-2|成立，
∴只须：k大于等于（|x-1|-|x-2|）的最小值即可，
而由绝对值的几何意义可知|x-1|-|x-2|表示数轴上的点到1和2的距离之差，
由上图分析得：当实数x在数轴上移动时有：-1≤|x-1|-|x-2|≤1，
即：k≥-1．
命题q：?x，y∈R⁺且x+y=1，有xyk≤x+4y，
∴有：k≤

x+4y

xy

对?x，y∈R⁺且满足x+y=1的实数x、y成立，
∴只须：k小于等于

x+4y

xy

的最小值即可，
而

x+4y

xy

=

x

xy

+

4y

xy

=

1

y

+

4

x

=

x+y

y

+

4(x+y)

x

=

x

y

 +1+4+

4y

x

=5+

x

y

+

4y

x

≥5+ 2

x y • 4y x

= 9，
即：k≤9．
又∵p∧q为真，
∴命题p和命题q均为真命题，
∴应有

k≥-1 k≤9

，解得：-1≤k≤9，即：[-1，9]．
故选A．

点评：本题以复合命题的真假为载体，主要考查绝对值的几何意义及不等式求函数的最值的掌握情况，要做到熟练掌握．