Question

【题目】已知函数f（x）= ，且f（1）=﹣1．
（1）求f（x）的解析式，并判断它的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：可求得a=﹣2，

f（x）= =﹣2x+

因为f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）

且f（﹣x）=2x﹣ =﹣f（x），

所以f（x）是奇函数

（2）解：f（x）在（0，+∞）上的单调递减，

证明：设任意0＜x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=﹣2x1+ +2x2﹣ =（x2﹣x1）（2+ ）

因为0＜x1＜x2 所以x2﹣x1＞0且2+ ＞0，

所以 f（x1）＞f（x2）

所以 f（x）在（0，+∞）上的单调递减

【解析】（1）将a=﹣2代入f（x），求出函数的定义域，得到f（﹣x）=﹣f（x），从而判断出函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的奇偶性是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．