分析:(1)欲证EF∥平面ABC1D1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行,连接BD1,在△DD1B中,E、F分别为D1D,DB的中点,根据中位线定理可知EF∥D1B,满足定理所需条件;
(2)先根据线面垂直的判定定理证出B1C⊥平面ABC1D1,而BD1?平面ABC1D1,根据线面垂直的性质可知B1C⊥BD1,而EF∥BD1,根据平行的性质可得结论;
(3)可先证CF⊥平面EFB1,根据勾股定理可知∠EFB1=90°,根据等体积法可知VB1-EFC=V C-B1EF,即可求出所求.
解答:解:(1)证明:连接BD
1,如图,在△DD
1B中,E、F分别为D
1D,DB的中点,则
| EF∥D1B | D1B?平面ABC1D1 | EF?平面ABC1D1 |
| |
?EF∥平面ABC
1D
1.
(2)
| B1C⊥AB | B1C⊥BC1 | AB,B1C?平面ABC1D1 | AB∩BC1=B |
| |
???EF⊥B1C(3)∵CF⊥平面BDD
1B
1,∴CF⊥平面EFB
1且
CF=BF=,
∵
EF=BD1=,
B1F===,
B1E===3∴EF
2+B
1F
2=B
1E
2即∠EFB
1=90°,
∴
VB1-EFC=VC-B1EF=•S△B1EF•CF=
וEF•B1F•CF=
××××=1 点评:本题主要考查了线面平行的判定,以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算,同时考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想,属于中档题.