Question

某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．
（I）求一次摸奖中一等奖的概率；
（II）求一次摸奖得分的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为P1=

3

12

=

1

4

；取到白球的概率为P2=

4

12

=

1

3

；取到黑球的概率为P3=

5

12

；由此能求出一次摸奖中一等奖的概率．
（II）设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，2.P(ξ=2)=

5

32

；P(ξ=1)=

A

3 3

1

4

•

1

3

•

5

12

=

5

24

；由此能求出一次摸奖得分ξ的分布列和期望．

解答：解：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为P1=

3

12

=

1

4

；取到白球的概率为P2=

4

12

=

1

3

；取到
黑球的概率为P3=

5

12

；
一次摸奖中一等奖的概率为P=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)+(

1

4

)3=

5

32

．
（II）设ξ表示一次摸奖的得分，则ξ可能的取值为0，1，2.P(ξ=2)=

5

32

；P(ξ=1)=

A

3 3

1

4

•

1

3

•

5

12

=

5

24

；P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=2)=

61

96

∴一次摸奖得分ξ的分布列为

ξ	2	1	0
P	5 32	5 24	61 96

期望为Eξ=2×

5

32

+1×

5

24

+0×

61

96

=

25

48

．

点评：本题考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，解题时要注意离散型随机变量ξ的分布列和期望的求法．